arithmétique et théorie des nombres

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• ARITHMÉTIQUE

  • Écrit par Encyclopædia Universalis

  L’arithmétique est la branche la plus élémentaire des mathématiques. C’est elle qui permet de compter et de réaliser les 4 opérations élémentaires (addition, soustraction, multiplication, division). Toutes les autres branches des mathématiques reposent sur ses principes et ses règles. Nous utilisons l’arithmétique tous les jours, pour faire un achat, mesurer une distance ou simplement pour compter [...]

Articles associés

• ADDITION

  • Écrit par Alain MATTHÈS

  L’addition (du latin addere, « ajouter ») est l’une des 4 opérations élémentaires de l’arithmétique. Elle consiste à compter la réunion d’objets contenus dans des collections. Elle sert aussi à déterminer une grandeur obtenue par l’ajout de 2 grandeurs de même nature, comme les longueurs. Un enfant qui mesurait 147 centimètres et a grandi de 3 centimètres mesure ainsi 150 centimètres [...]

• ARITHMÉTIQUES, livre de Diophante

  Diophante d'Alexandrie, un mathématicien grec du 3e siècle, parfois appelé le « père de l'algèbre », est connu par son ouvrage les Arithmétiques, qui traite des solutions des équations algébriques. On ne sait pratiquement rien de sa vie, et ses dates de naissance et de mort sont très controversées. Les Arithmétiques sont une collection de solutions numériques de 130 équations [...]

• BACHET DE MÉZIRIAC, Claude-Gaspard (1581-1638)

  • Écrit par Olivier GENIN

  Claude-Gaspard Bachet de Méziriac fut un mathématicien français du 16e-17e siècle. Il naît le 9 octobre 1581 à Bourg-en-Bresse. Orphelin très jeune, il est pris en charge et éduqué par les jésuites en Italie. De retour en France, Bachet de Méziriac se consacre à l'étude des lettres et des sciences. À 40 ans, il se marie. Il aura 7 enfants [...]

• CALCUL MENTAL

  • Écrit par Olivier GENIN
  • 1 média
  

  Le calcul mental, c'est résoudre des calculs « de tête », sans poser d'opération ni utiliser une calculatrice.Deux personnes n’auront pas forcément utilisé les mêmes raccourcis ou chemin de calcul pour trouver le bon résultat d’une opération. Pour résoudre « de tête » un calcul, il faut manier parfaitement « mentalement » les 4 opérations de base : l’addition, la soustraction, la multiplication et la division [...]

• DISTRIBUTIVITÉ

  • Écrit par Alain MATTHÈS

  La distributivité (du latin distribuere, « répartir ») est une propriété de la multiplication par rapport à l’addition qui permet de passer d’un produit de sommes à une somme de produits. Une pièce rectangulaire de 13 mètres de longueur et de 5 mètres de largeur a pour superficie 65 mètres carrés, car 13 × 5 = 65. On peut la décomposer en 2 pièces rectangulaires dont l’une a 6 mètres et l’autre 7 mètres de longueur [...]

• DIVISION

  • Écrit par Alain MATTHÈS

  La division (du latin dividere, signifiant « partager ») est l’une des 4 opérations de l’arithmétique élémentaire. Elle permet de partager ou de répartir en plusieurs parties égales. Elle associe à 2 nombres entiers naturels, appelés dividende et diviseur, un entier appelé quotient. Le nombre à diviser est le dividende. Celui qui exprime en combien de parties égales on le divise se nomme diviseur ; ce dernier ne peut jamais être 0 [...]

• EUCLIDE (325?-265 av. J.-C.)

  • Écrit par Emmanuelle GRUNDMANN

  Euclide fut un mathématicien de la Grèce antique. Il est l’auteur d’une œuvre en 13 tomes, Les Éléments, considérée comme le texte fondateur des mathématiques. Comme pour beaucoup de personnages de cette époque, on sait peu de choses de la vie d’Euclide. Il naquit probablement vers 325 av. J.-C. à Athènes et il mourut en 265 av. J.-C. en Égypte, où il était parti enseigner les mathématiques [...]

• FERMAT, Pierre de (1601-1665)

  • Écrit par Olivier GENIN
  • 1 média
  

  Pierre de Fermat fut un mathématicien français du 17e siècle. Il est essentiellement connu pour être à l’origine des branches les plus fécondes des mathématiques : géométrie analytique, calcul infinitésimal, calcul des probabilités, théorie des nombres. Pierre de Fermat naît en 1601 à Beaumont-de-Lomagne, près de Toulouse, où son père est négociant en cuir [...]

• FRACTION

  • Écrit par Olivier GENIN
  • 1 média
  

  Une fraction est une division de 2 nombres entiers relatifs. Son résultat est appelé le quotient : a ∈ (ensemble des nombres entiers relatifs) et b ∈ * (ensemble des entiers relatifs non nuls).Les fractions font parties de la famille des nombres rationnels, notés .La partie au-dessus du trait de fraction, le dividende, est appelée le numérateur [...]

• GAUSS, Carl Friedrich (1777-1855)

  • Écrit par Olivier GENIN
  • 1 média
  

  Carl Friedrich Gauss fut un mathématicien, astronome et physicien allemand du 18e et 19e siècle. Il est connu non seulement pour ses très nombreux travaux en mathématiques, domaine qu’il a dominé pendant un tiers de siècle, mais aussi en astronomie et en physique, notamment en ce qui concerne le magnétisme. Une unité porte d’ailleurs son nom en électromagnétisme [...]

• MULTIPLICATION

  • Écrit par Alain MATTHÈS

  La multiplication (du latin multiplicatio, qui signifie « augmentation ») est l’une des 4 opérations de l’arithmétique élémentaire. Multiplier un nombre entier par un autre, c’est ajouter cet entier à lui-même plusieurs fois. Lorsque les nombres à ajouter entre eux sont égaux, l’addition prend le nom de multiplication. Ajouter 3 fois un nombre, c’est tripler ce nombre [...]

• NOMBRE D'OR

  • Écrit par Olivier GENIN
  • 3 médias
  

  Le nombre d’or est égal approximativement à 1,618 033 988 7. Mais, bien plus qu’une valeur, ce chiffre correspond avant tout à une proportion, la « proportion d’or ». Cette proportion est réalisée quand 2 longueurs strictement positives a et b respectent l’égalité suivante :Le nombre d’or est égal à a/b et correspond à l’unique racine positive de l’équation ci-dessus [...]

• NOMBRE DÉCIMAL

  • Écrit par Alain MATTHÈS

  En mathématiques, un nombre décimal s’écrit à l’aide d’une virgule, suivie d’un nombre fini de chiffres. L’existence du zéro en tant que chiffre a permis la création du système décimal, dans lequel un nombre s’écrit à l’aide des 10 chiffres (de 0 à 9) et des groupements qui se font par 10 : la dizaine (10 unités), la centaine (10 dizaines), le millier (10 centaines), etc [...]

• NOMBRE ENTIER RELATIF

  • Écrit par Alain MATTHÈS

  En mathématiques, un nombre entier relatif se compose d’un entier naturel précédé d’un signe positif (+) ou négatif (-). Les entiers positifs s’identifient aux entiers naturels (1, 2, 3, etc.), tandis que les entiers négatifs sont leurs opposés (- 1, - 2, - 3, etc.). Le chiffre 0 fait aussi partie des nombres entiers relatifs, mais il est dépourvu de signe [...]

• NOMBRE ENTIER

  • Écrit par Alain MATTHÈS

  En mathématiques, un nombre entier est un nombre naturel positif (1, 2, 3, etc.) ou un nombre nul (0) permettant de compter des objets distincts. L’étude des entiers, avec notamment les opérations d’addition et de multiplication, constitue une branche élémentaire des mathématiques appelée arithmétique. Les nombres sont écrits à l’aide de chiffres. De nombreuses civilisations (notamment [...]

• NOMBRES ET NOTATION NUMÉRALE

  • Écrit par Encyclopædia Universalis
  • 3 médias
  

  Un nombre est un concept de base en mathématique, servant à compter, à mesurer et à comparer des quantités. Un système de notation numérale est un ensemble de symboles représentant des nombres. Le système de notation numérale le plus courant recourt à 10 symboles, les chiffres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, et 9), utilisés seuls ou en combinaisons. Types de nombres Les nombres peuvent être classés de plusieurs manières [...]

• NOMBRES INVERSES ET OPPOSÉS

  • Écrit par Olivier GENIN

  Souvent, les notions d’inverse et d’opposé en mathématiques prêtent à confusion.Deux nombres réels opposés sont 2 nombres qui ont la même partie numérique, mais des signes différents. Leurs distances par rapport à l’origine O d’un axe sont égales, mais opposées. Ainsi, sur un axe horizontal gradué, zéro est au centre du segment [– aa] formé par 2 nombres opposés [...]

• NOMBRES PARFAITS

  • Écrit par Olivier GENIN
  • 1 média
  

  Un nombre parfait est un nombre entier naturel dont la somme des diviseurs propres (diviseurs différents du nombre lui-même) est égale à ce nombre. Par exemple, 6 est divisible par 1, 2 et 3, et 6 = 1 + 2 + 3.Dès l’Antiquité, au 3e siècle av. J.-C., Euclide expérimentait les nombres parfaits. Au 17e siècle, Euler reprend les travaux d’Euclide et prouve une formule pour les nombres parfaits pairs [...]

• NOMBRES PREMIERS

  • Écrit par Olivier GENIN
  • 1 média
  

  Un nombre premier est un nombre entier supérieur ou égal à 2 et divisible uniquement par 1 et par lui-même pour donner un nombre entier : 2 est le seul nombre premier pair. Il existe une infinité de nombres premiers, qui sont donc tous impairs.L’étude des nombres premiers fait partie de la branche des mathématiques appelée l’arithmétique.C’est le mathématicien grec Euclide qui, au 3e siècle av [...]

• OPÉRATIONS, mathématiques

  • Écrit par Olivier GENIN

  Les 4 opérations mathématiques élémentaires sont l’addition, la soustraction, la multiplication et la division. Les symboles respectifs sont +, –, × et : ; ils sont appelés opérateurs. Les chiffres ou les variables qu’ils font intervenir sont appelés opérandes. La mise à la puissance d’un opérande est aussi une opération mathématique.Addition et soustraction Pour effectuer une suite d’additions [...]

• PGCD ET PPCM

  • Écrit par Olivier GENIN
  • 1 média
  

  Le PGCD et le PPCM sont, respectivement, le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple entre 2 nombres entiers naturels.Le PGCDLe PGCD de 2 nombres entiers naturels a et b (a, b ∈ ) correspond donc au plus grand nombre k qui divise à la fois a et b :etLe PGCD permet notamment de simplifier les fractions complexes [...]

• POURCENTAGE

  • Écrit par Alain MATTHÈS

  Un pourcentage est un rapport entre 2 nombres qui s’exprime sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est 100. Pour mesurer l’importance d’une partie quantifiable ayant une caractéristique particulière par rapport à un ensemble auquel elle appartient, on utilise un rapport. Par exemple, si dans 20 centilitres d’une boisson il y a 5 centilitres de jus d’orange, alors un quart (5/20) de cette boisson est constituée de jus d’orange [...]

• PROPORTIONNALITÉ

  • Écrit par Alain MATTHÈS

  En sciences, la proportionnalité est le caractère par lequel 2 grandeurs mesurables restent dans le même rapport. Par exemple, en mathématiques, lorsque le diamètre d’un cercle double, la circonférence double. La proportionnalité entre 2 grandeurs peut être établie par l’égalité de rapports de 2 quantités de même type. Le terme « proportion », concept qui appartient à l’héritage grec, s’applique aux éléments quantifiables [...]

• PUISSANCE, mathématiques

  • Écrit par Olivier GENIN
  • 1 média
  

  La puissance n-ième d’un nombre a est : (a est multiplié par lui-même n fois, on a donc n facteurs). an se dit « a puissance n » ou « a exposant n ».L’exposant n est un nombre entier non nul.Un nombre à l’exposant 1 ne change pas le nombre :Un nombre à l’exposant 0 est toujours [...]

• PYTHAGORE (580 env.-500 env. av. J.-C.)

  • Écrit par Alain MATTHÈS
  • 1 média
  

  Le Grec Pythagore fut le premier pur mathématicien. Il serait né vers 580 av. J.-C. dans l’île égéenne de Samos. Il est plus jeune que le philosophe et mathématicien Thalès et les historiens admettent qu’il fut élève de celui-ci. Sa vie, cependant, est obscure et controversée, peu de documents de cette époque étant restés intacts. Pythagore fonde une communauté et vit en son sein [...]

• RACINE CARRÉE

  • Écrit par Olivier GENIN
  • 1 média
  

  La racine carrée d’un nombre strictement positif a est le nombre positif, noté , qui, élevé au carré, donne a : La racine carrée d’un nombre au carré, est égale à ce nombre : La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas : .En revanche, et existent.Le produit de 2 racines carrées est égal à la racine carrée du produit :Le quotient de 2 racines carrées est égal à la racine [...]

• RÈGLE DE TROIS

  • Écrit par Alain MATTHÈS

  La règle de trois est une méthode de calcul qui fait intervenir 3 valeurs pour en obtenir une quatrième. Les 3 nombres a, b et c étant donnés, il s’agit de déterminer un nombre d tel que a et b soient proportionnels à c et d. On appelle quatrième proportionnelle le quatrième nombre d [...]

• SOUSTRACTION

  • Écrit par Alain MATTHÈS

  La soustraction (du latin substractio, qui signifie l’« action de se retirer ») est une des 4 opérations élémentaires de l’arithmétique. Elle consiste à retrancher un nombre d’un autre. On considère parfois que la soustraction est l’opposé de l’addition. Celle-ci consiste en effet à enlever un nombre au lieu de l’ajouter. Quand on veut ôter un nombre d’un autre, la première idée est de [...]

• ZÉRO

  • Écrit par Olivier GENIN
  • 1 média
  

  La notion de zéro, comme la notion d’infini, est difficile à cerner et à définir pour l’homme. Philosophiquement, le zéro est lié au néant, au vide. En théologie, zéro serait le moment juste avant la naissance de notre Univers. En physique, ce serait l’instant exact du big bang. En mathématiques, le zéro a été créé par nécessité, notamment pour des besoins de calculs arithmétiques [...]

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