Espace et géométrie
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AIRE
En géométrie, l'aire (du latin area, qui signifie " surface plane ") désigne la mesure d'une surface. En géographie, le terme " superficie " lui est préféré. Dans la langue de tous les jours, si une " surface " peut être cultivée, c'est la " superficie " cultivée qui est exprimée en hectares. Les Égyptiens savaient déjà évaluer les aires des figures planes comme le triangle, le rectangle ou le trapèze […]
ANGLE, géométrie
Un angle est une portion de plan délimité par deux droites sécantes en un point. Ce point d'intersection est appelé sommet de l'angle. La notation d'un angle, où le point O est le sommet de l'angle et les demi-droites [OA) et [OB) les côtés de l'angle, est AOB. Angles opposés Deux angles sont opposés par le sommet s'ils ont le même sommet et si leurs côtés sont dans le prolongement l'un de l'autre […]
CERCLE
Un cercle (du latin circus, " cercle ", qui a aussi donné " cirque ") est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. Il partage le plan en 2 régions, l'intérieur et l'extérieur. On utilise un compas pour le dessiner. C'est une forme simple de la géométrie euclidienne. La région du plan limitée par un cercle est appelée disque […]
CERCLE CIRCONSCRIT
Un cercle circonscrit à un polygone est un cercle qui, s'il existe, passe par tous les sommets de ce polygone. À l'inverse, un cercle inscrit dans un polygone est un cercle qui, s'il existe, est tangent à chaque côté du polygone. On ne s'intéresse ici qu'au cas du cercle circonscrit à un triangle rectangle. Soit un cercle c de centre O et [BC] un diamètre du cercle […]
CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 orienté positivement. Le sens positif est le sens contraire de celui des aiguilles d'une montre. Représentons un quart de cercle trigonométrique pour des angles aigus, notés x, tels que 00 ≤ x ≤ 900: Le rayon vertical, gradué de 0 au centre à 1 sur le cercle, est l'axe de lecture des sinus […]
CHASLES RELATION DE
La relation de Chasles porte le nom d'un mathématicien français du 19e siècle : Michel Chasles. En géométrie, elle permet de dire que, pour tout point A, B, C quelconque, l'égalité AB + BC = AC est vérifiée. Cela revient à dire que le vecteur AC est la somme des vecteurs AB et BC. Cependant, pour les longueurs, l'égalité […]
CUBE
Le cube (du grec kubos, " dé à jouer ") est un volume, ou solide, fondamental de l'espace que les géomètres analysent depuis des milliers d'années. Il est l'un des 5 solides de Platon, philosophe grec qui étudia des solides remarquables par leur esthétisme et leur symétrie. Le cube fait partie de plusieurs familles de solides. Le cube appartient à la grande famille des polyèdres […]
CYLINDRE
En mathématiques, un cylindre est un volume fondamental de l'espace. Les grecs appelaient kylindros, devenu en français " cylindre " par l'intermédiaire du latin cylindrus, un rouleau q'ils utilisaient pour manœuvrer des charges très lourdes. De nombreux solides ont la forme de cylindre : une boîte de conserve, une craie pour écrire au tableau ou bien une colonne de temple […]
DÉPLACEMENTS, mathématiques
En géométrie, un déplacement est une transformation qui garde les propriétés de la forme initiale déplacée. Un déplacement conserve les formes (une droite donne une droite, un carré donne un carré, etc.). Il conserve les mesures (longueurs, angles, aires). Il conserve les propriétés géométriques des figures (conservation des parallèles et des perpendiculaires, etc […]
DROITE ÉQUATION DE
Une droite est un ensemble illimité de points. Pour la représenter géométriquement, il faut définir un repère, connaître les coordonnées d'au moins 2 de ses points ou son équation. Le repère Dans le plan, un repère a 2 axes, qu'on appelle axe des abscisses pour l'axe horizontal et axe des ordonnées pour l'axe vertical. Le point d'intersection est l'origine du repère et se note généralement O […]
DROITES REMARQUABLES DANS LE TRIANGLE
Une droite est dite remarquable dans un triangle lorsqu'elle possède une ou plusieurs propriétés quel que soit le triangle. Il existe 4 types de droites remarquables dans le triangle : la médiane, la médiatrice, la hauteur et la bissectrice. Médianes dans le triangle La médiane est la droite qui passe par le milieu d'un côté du triangle et par le sommet opposé à ce côté […]
FRACTALE
Une " fractale ", ou objet fractal, présente des motifs identiques à diverses échelles. Le tout est similaire à une de ses parties, et cela au niveau du moindre détail. En mathématiques, une fractale désigne une courbe ou une surface irrégulière ou éclatée mais qui obéit à des règles déterministes (l'évolution de la forme est causée par des états antérieurs), notamment une homothétie interne […]
GÉOMÉTRIE
La géométrie est une science mathématique qui étudie les formes et les figures. Elle explique comment construire ou dessiner, mesurer et comparer des formes. On utilise notamment la géométrie pour bâtir des maisons et des ponts, mais aussi pour organiser des voyages dans l'espace. Points, droites et angles La géométrie repose sur les notions de point, de droite et d'angle […]
HOMOTHÉTIE
Une homothétie est la transformation de centre O et de rapport k qui à tout point M associe le point M' tel que : OM' = kOM . La notation est : hO,k(M) = M' ou hO,k : M → M'. M' est l'image de M, et k est le rapport, c'est-à-dire la proportion entre le vecteur final et le vecteur initial […]
INFINI, mathématiques
Littéralement, le mot " infini " sert à qualifier quelque chose qui est sans limite. Les premières définitions de l'infini furent d'ailleurs des définitions dites négatives. Pour les Grecs et les Romains, " l'infini, c'est tout ce qui n'est pas fini ". Pour Aristote, c'est " ce qui ne se laisse pas parcourir et n'a pas de limite ". Encore aujourd'hui, l'infini est couramment défini comme ce que ce n'est pas […]
LIMITE, mathématiques
En mathématiques, on utilise le terme " limite " principalement lors des études de fonctions numériques. Trouver la limite en un point particulier d'une fonction, c'est déterminer de quelle valeur elle s'approche lorsque la variable s'approche (sans l'atteindre) de ce point particulier. Trouver la limite à l'infini d'une fonction, c'est déterminer de quelle valeur celle-ci s'approche lorsque la variable croît indéfiniment […]
MILIEUX THÉORÈME DE
Le théorème des milieux dit que, dans un triangle, la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. Soit ABC un triangle, soit I le milieu du segment [AB]. Si J est le milieu du segment [AC], alors la droite (IJ) est parallèle à la droite (BC) : La réciproque est vraie : dans un triangle, la droite parallèle à un côté qui passe par le milieu […]
NAPOLÉON THÉORÈME DE
Le théorème de Napoléon dit que, si l'on forme 3 triangles équilatéraux à partir des cotés d'un triangle quelconque, alors les centres de gravité de ces 3 triangles (points d'intersection des médianes) forment à leur tour un triangle équilatéral.Construisons un triangle ABC, quelconque, puis extérieurement, 3 triangles équilatéraux ABM, BCP et ACN. Si les points G, H et I désignent les centres de […]
PARALLÈLE
En géométrie euclidienne, le parallélisme est une propriété relative aux droites. Ainsi, 2 droites dans un plan sont dites parallèles si elles n'ont aucun point commun ou si elles sont confondues. Dans le cas contraire, les droites n'ont qu'un et un seul point commun. Elles sont alors dites sécantes. La géométrie euclidienne a débuté avec les Éléments, ensemble de 13 livres probablement écrits par le mathématicien grec Euclide […]
PAVAGE
Paver un plan, c'est recouvrir entièrement ce plan, sans laisser de trou ni faire de superposition, avec une forme de base appelée pavé de base, qu'on reproduit autant qu'on veut en lui faisant subir des transformations simples et répétées. Le pavage peut être géométrique, les formes faisant appel à des polygones simples ou plus ou moins complexes […]
PÉRIMÈTRE
En géométrie, le périmètre désigne à la fois la longueur du contour d'une surface, mais aussi la ligne qui ferme cette surface. Ce mot est construit à partir du préfixe péri- (" autour ") et du suffixe -mètre (" mesure "). Le périmètre est, avec l'aire, l'une des mesures principales des figures géométriques. Une surface comme un disque est limitée par une ligne, le cercle […]
PÉRIMÈTRE ET AIRE
Le périmètre est la mesure de la longueur des contours d'une forme géométrique dans le plan, c'est-à-dire en 2 dimensions, le plus souvent appelées longueur et largeur. L'unité de mesure est le mètre (noté m), avec ses multiples et sous-multiples. L'aire est la mesure de la surface de la forme géométrique. L'unité de mesure est le mètre carré (noté m2), avec ses multiples et sous-multiples […]
PERPENDICULAIRE
En géométrie plane, 2 droites non parallèles sont toujours sécantes (elles se coupent en un point). Elles sont dites perpendiculaires (du latin perpendiculum, " fil à plomb ") lorsqu'elles se coupent en formant un angle droit. Cette définition est aussi valable dans l'espace. On code cette caractéristique par un petit carré à l'intersection des 2 droites […]
PI
Le nombre pi (noté π) est le nombre défini par l'aire du disque ou le périmètre du cercle : – pi est le rapport entre la circonférence du cercle (le périmètre p) et son diamètre D (2 fois le rayon r) :– pi est aussi le rapport entre l'aire du disque (A) et son rayon (r) au carré : La valeur approchée admise de π est 3,141 59 […]
PROJECTION ET RÉFLEXION, mathématiques
En géométrie, la projection et la réflexion sont 2 transformations qui ne gardent pas les propriétés de la forme initiale déplacée. En cela, elles s'opposent aux déplacements que sont la translation, la rotation, la symétrie axiale et la symétrie centrale. La projection Une projection est une image d'une figure ou d'un objet, projetée sur un support, un plan donné […]
PYTHAGORE THÉORÈME DE
Le théorème de Pythagore dit que, dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est appelé l'hypoténuse. L'hypoténuse est toujours le plus grand des côtés Soit ABC un triangle rectangle en A, alors on a : BC2 = AB2 + AC2 […]
QUADRILATÈRE
Le quadrilatère est une figure géométrique possédant 4 côtés. Il fait partie de la famille des polygones, figures ayant plusieurs angles. Un quadrilatère noté ABCD possède 4 sommets, qui sont les points A, B, C et D, et 4 côtés, qui sont les segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. Il possède aussi 2 diagonales, qui joignent les sommets opposés et sont les segments [AC] et [BD] […]
RUBAN DE MÖBIUS, mathématiques
Un ruban de Möbius est une surface n'ayant que 1 seule face et 1 seul bord. Pour permettre de visualiser cette caractéristique, on obtient facilement un ruban de Möbius en faisant subir 1 torsion d'un demi-tour à un ruban, puis en collant les 2 extrémités. C'est dans un mémoire, présenté à l'Académie des sciences mais qui ne fut découvert qu'après sa mort en 1868, que le mathématicien allemand […]
SYMÉTRIE
En mathématiques, la symétrie (du latin symmetria, " justesse des proportions ") est une transformation géométrique qui ne provoque aucune modification de forme ni de dimensions. Dès l'Antiquité, les figures possédant des symétries ont fait l'objet d'intenses études. Le cercle, le triangle équilatéral, le carré et tous les autres polygones réguliers ont révélé d'intéressantes propriétés […]
SYMÉTRIE CENTRALE
Une symétrie centrale est une transformation géométrique qui à chaque point associe un point image symétrique par rapport à un centre de symétrie. Si M' est le symétrique de M par rapport à I alors M est le symétrique de M' par rapport à I. On dit que M' et M sont symétriques par rapport à I. Le symétrique de I est I. C'est le seul point dans ce cas […]
THALÈS THÉORÈME DE
Le théorème de Thalès dit que si (d) et (d') sont deux droites sécantes en un point A, B et M deux points de la droite (d), distincts de A, C et N deux points de la droite (d'), distincts de A, et si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors : La figure ABC forme un triangle. D'où l'énoncé restreint du théorème de Thalès, appliqué au triangle […]
TRIANGLE
Le triangle est une figure géométrique élémentaire formée par 3 points et par les 3 segments qui les relient. Elle fait partie de la famille des polygones et a été nommée à une certaine époque " trigone ", c'est à dire figure possédant 3 angles. Les mots " pentagone " et " trigonométrie " ont conservé leur racine grecque gonia, qui signifie " angle " […]
TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE
La trigonométrie étudie les relations existant entre les longueurs des côtés d'un triangle et les mesures de ses angles. La trigonométrie est utilisée depuis longtemps en astronomie, en géographie, et par les marins. L'hypoténuse est le coté opposé à l'angle droit. C'est toujours le plus grand des côtés dans un triangle rectangle.Le côté opposé et le côté adjacent sont les deux côtés de l'angle […]
VECTEUR, mathématiques
Un vecteur est défini par son origine (ou point de départ), son extrémité (ou point d'arrivée), sa longueur, encore appelée norme du vecteur, sa direction, qui est celle de la droite qui le porte, et son sens, de son origine à son extrémité. Ainsi, le vecteur AB est défini par son origine (le point A), son extrémité (le point B), sa longueur AB, appelée norme et notée […]
VOLUME
En mathématiques, le volume désigne à la fois la partie de l'espace qu'occupe un objet et sa mesure. Ce terme provient du latin voluminis (" chose enroulée "), formé à partir du verbe volvere, qu'on retrouve dans le mot " révolution ". Les objets de révolution sont obtenus par rotation autour d'un axe, par exemple un cylindre obtenu sur un tour à bois […]
Documents
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Filippo Brunelleschi et la perspective
Avec Masaccio et Donatello, Filippo Brunelleschi fonde un nouveau système de représentation du monde : sa conception géométrique de l'espace (perspective) intéresse aussi la pensée et la recherche…
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La loi des décroissements de Haüy
Le concept de " molécule intégrante " (ou celui de molécule soustractive) permet à Haüy de définir les lois qui régissent le faciès des cristaux. La loi des décroissements peut être comprise en…
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Les Objets fractals, de Benoît Mandelbrot
Benoît Mandelbrot rassemble dans l'essai Les Objets fractals : forme, hasard et dimension les résultats de ses travaux effectués au centre de recherche Thomas-Watson de la société I.B.M. à…